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托勒密定理证明勾股定理_托勒密定理证明

来源：互联网    时间：2023-06-21 14:41:02

1、方法一：（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

2、）在任意凸四边形ABCD中(如下图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）复数证明：用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。


(资料图片仅供参考)

3、 首先注意到复数恒等式： (a−b)(c−d) + (a−d)(b−c) = (a−c)(b−d) ，两边取模，运用三角不等式得。

4、等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

5、 四点不限于同一平面。

6、 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

7、方法二：设ABCD是圆内接四边形。

8、 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

9、 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

10、 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。

11、 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。

12、证毕。

13、方法三：托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．证明：如上图，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。

14、又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。

15、①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．方法四：广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m、n，则有：扩展资料：托勒密定理推广：托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

16、简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式 AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD2、托勒密定理推论（1）任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

17、（2）托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆3、托勒密定理运用要点：（1）等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

18、（2）四点不限于同一平面。

19、欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD参考资料来源：百度百科 -托勒密定理。

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